商标授权他人使用后，法律责任的承担情况如下：
授权方的法律责任
商标合法性保证责任：授权方必须确保所授权的商标是其合法拥有的，不存在任何权利瑕疵，如商标侵权、商标无效等问题。如果因商标本身的合法性问题导致被授权方遭受损失，授权方应承担赔偿责任。
商标有效性维持责任：授权方有义务按时缴纳商标续展费用，确保商标在授权期间内始终有效。若因授权方未履行该义务导致商标被撤销或无效，可能给被授权方带来损失，授权方需承担相应责任。
监督责任：授权方有权也有责任监督被授权方对商标的使用情况，包括使用范围、使用方式等是否符合授权协议的约定。若发现被授权方存在违反约定的使用行为，授权方应及时制止并要求其改正，否则可能因未尽到监督责任而承担连带责任。
协助维权责任：当被授权方因商标使用问题遭遇侵权等情况时，授权方应积极配合被授权方进行维权，提供必要的协助和支持，如提供商标注册证明、授权书等证据。
连带侵权责任：如果被授权方在使用商标的过程中侵犯了他人的商标权，授权方可能会被认定为共同侵权，在法律上承担连带责任。例如，授权方明知被授权方的使用行为可能构成侵权，却仍然授权或放任不管。
被授权方的法律责任
按约定使用责任：被授权方应当严格按照授权协议约定的范围和方式使用商标，不得超出授权范围使用，否则可能构成违约，需承担相应的违约责任，如支付违约金、赔偿损失等。
商品或服务质量保证责任：被授权方有责任确保其提供的商品或服务质量符合相关标准和要求，若因质量问题导致消费者受到损害，可能面临消费者保护诉求，承担相应的法律责任，如赔偿损失、承担维修责任等。
不得擅自转授权责任：未经授权方同意，被授权方不得擅自将商标转授权给他人使用，否则可能构成违约，需承担相应的违约责任。
侵权责任：如果被授权方在使用商标过程中侵犯了他人的商标权，需承担停止侵权、赔偿损失等民事责任。若侵权行为严重，还可能面临行政处罚，如罚款、没收违法所得等。
特殊情况
共同侵权责任：如果授权方和被授权方共同实施了侵权行为，或者授权方知道或应当知道被授权方侵权而未采取必要措施制止，可能需要承担共同侵权责任。
合同约定责任：商标授权合同中可能会对双方的权利义务及责任承担作出具体约定，双方应按照合同约定履行义务，违反约定的一方需承担相应的违约责任。